Teori probabilitas

Dalam kehidupan sehari-hari sulit untuk mengetahui dengan “pasti” apa yang akan terjadi pada waktu yang akan datang, baik dalam jangka pendek maupun jangka panjang. Sebuah contoh sederhana adalah jika sebuah koin dilempar, maka akan sulit untuk memastikan bahwa muka gambar atau muka angka yang berada di atas. Jika terkait dengan suatu perusahaan, maka akan sulit untuk memprediksikan apakah tahun depan akan mengalami keuntungan atau kerugian. Jika terkait dengan suatu ujian, juga akan sulit untuk memastikan apakah lulus atau gagal dan lain sebagainya. 

Semua peristiwa tersebut berada dalam “ketidakpastian” atau Uncertainty. Dengan demikian, probabilitas atau peluang merupakan “derajat kepastian” untuk terjadinya suatu peristiwa yang diukur dengan angka pecahan antara nol sampai dengan satu, dimana peristiwa tersebut terjadi secara acak atau random. Dengan konsep probabilitas tersebut, maka akan dapat diusahakan untuk menarik kesimpulan tentang karakteristik dari populasi dengan menggunakan data sampel. Proses penarikan kesimpulan populasi atas dasar data sampel sering disebut dengan “induktif”.

Dengan menggunakan konsep probalilitas, maka dapat diusahakan untuk menjawab peristiwa-peristiwa yang belum dapat dipastikan. Misalnya terkait dengan teori permintaan, jika harga suatu barang dinaikkan sebesar Rp. 500,- maka permintaan terhadap barang tersebut dapat turun sebesar 20 unit, atau 25 unit, atau 30 unit dan lainnya. Jika sebuah dadu dilempar satu kali, maka muka yang tampak dapat mata 1, mata 2, mata 3, mata 4, mata 5 atau mata 6. Untuk menjawab peristiwa tersebut hanya dapat dilakukan dengan derajat kepastian, yaitu mulai sebesar nol sampai dengan satu (0 <= probabilitas <= 1).

ATURAN PROBABILITAS
Suatu peristiwa E dapat terjadi sebanyak “h” kali diantara sejumlah “n” peristiwa yang mungkin, dengan ketentuan h <= n. Dengan demikian nilai probabilitas dari peristiwa paling kecil adalah 0 (nol) dan paling besar adalah 1 (satu) atau diformulasikan menjadi: 0 <= P (E) <= 1 ; dimana P (E) merupakan probabilitas suatu peristiwa.
Jika P(E) = 0, maka peristiwa E “pasti tidak terjadi”.
Jika P(E) = 1, maka peristiwa E “pasti terjadi”.
Jika P(E) mendekati 0 (nol) maka peristiwa E kemungkinan terjadinya “kecil”.
Jika P(E) mendekati 1 (satu) maka peristiwa E kemungkinan terjadinya “besar”.

Apabila kemingkinan terjadinya peristiwa E diberi notasi P(E), maka kemungkinan terjadinya “bukan E” diberi notasi P(nE), sehingga P(nE) = 1 – P(E). Peritiwa E dan nE merupakan peristiwa yang “komplementer” satu sama lain.

Contoh :
Jika sebuah dadu dilempar satu kali maka peristiwa untuk tampak mata 5 adalah sebesar P(E) = 1/6 = 0,167. Sedangkan untuk tampak selain mata 5 adalah sebesar 5/6 = 0,833 atau 1 – 0,167 = 0,833.

PROBABILITAS LEBIH DARI SATU PERISTIWA
Suatu suatu percobaan “tunggal” dimungkinkan akan terjadi beberapa peristiwa, maka peristiwa yang satu dengan peristiwa yang lain dipisahkan dengan tanda “atau” (U). Misalnya dalam percobaan satu kali pelemparan sebuah dadu, maka probabilitas keluar mata 4 atau mata 5 adalah ditulis P (4 U 5). Peristiwa yang terjadi dalam percobaan tunggal tersebut dapat bersifat Mutually Exclusive atau bersifat Non-Mutually Exclusive.

Dalam percobaan yang banyak, maka peristiwa yang muncul akan banyak. Karena percobaan banyak dan peristiwanya juga banyak, maka antara peristiwa yang satu dengan yang lain diberi tanda “dan” (∩). Peristiwa yang banyak dalam percobaan yang banyak dapat bersifat Independent atau bersifat Dependent.

Peristiwa Mutually Exclusive
Peristiwa Mutually Exclusive terjadi jika peristiwa yang satu tidak menyebabkan terjadinya peristiwa yang lainnya atau peristiwa yang satu dengan peristiwa yang lain tidak dapat terjadi secara bersama-sama. Jika X dan Y merupakan dua peristiwa Mutually Exclusive, maka kemungkinan terjadinya peristiwa X dan Y adalah : P (X U Y) = P (X) + P (Y).

Contoh :
Sebuah dadu dilempar satu kali, maka probabilitas tampak mata 4 atau mata 5 adalah : P (4 U 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6.

Dalam sebuah karung terdapat 4 bola merah, 10 bola biru dan 6 bola kuning. Jika dalam satu kali pengambilan secara acak, berapa probabilitas terambil bola merah atau bola biru.
Jawab :
Misalnya : X = terambil bola merah dan Y = terambil bola biru.
P (X) = 4/20 = 0,20
P (Y) = 10/20 = 0,50
P (X U Y) = 0,20 + 0,50 = 0,70

Nilai tersebut berarti jika diambil secara berulang-ulang (misalnya 100 kali), maka probabilitas untuk terambil bola merah atau bola biru adalah paling tidak sebanyak 70 kali.

Terdapat 100 lembar undian, yang terdiri 1 lembar hadiah pertama, 4 lembar hadiah kedua dan 10 lembar hadiah ketiga. Apabila diambil satu lembar undian tersebut berapa probabilitas memenangkan hadiah pertama atau ketiga.
Jawab :
X : memdapatkan hadiah pertama
Y : mendapatkan hadiah ketiga, maka
P (X) = 1/100 = 0,001
P (Y) = 10/100 = 0,10
P (X U Y) = 0,001 + 0,10 = 0,101 untuk memenangkan hadiah pertama atau ketiga.

Peristiwa Non-Mutually Exclusive.

Beberapa peristiwa dikatakan bersifat Non-Mutually Exclusive, yaitu apabila peristiwa-peristiwa tersebut terjadi secara bersamaan. Jika X dan Y merupakan peristiwa Non-Mutually Exclusive. Dengan deminkian terjadinya peristiwa X atau Y maka dapat dirumuskan sebagai berikut : P(X U Y) = P(X) + P(Y) - P(X ∩ Y).

Contoh :

Dari tumpukan kartu Bridge akan diambil satu kali. Berapa probabilitas terambil kartu King atau Demond.
Jawab :
A = kejadian akan terambilnya kartu King
B = kejadian akan terambilnya kartu Demond
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52.

Suatu perkumpulan mahasiswa terdiri dari 30 pria dan 20 wanita. Dari sejumlah mahasiswa tersebut yang berasal dari Fakultas Ekonomi sebanyak 10 pria dan 15 wanita, sedang sisanya dari fakultas yang lain. Apabila dipilih seorang mahasiswa secara acak, berapa probabilitas terpilih seorang mahasiswa pria atau mahasiswa dari fakultas ekonomi.
Jawab :
A = kejadian akan terpilih mahasiswa pria
B = kejadian akan terpilih mahasiswa dari Fak. Ekonomi
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 30/50 + 25/50 - 10/50 = 0,9.

Peristiwa Independent (Bebas)
Dua peristiwa dikatakan independen (bebas) jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa satu tidak mempengaruhi atau tidak dipengaruhi oleh peristiwa yang lain. Jika X dan Y merupakan dua peristiwa yang independen, maka probabilitas untuk terjadinya kedua peristiwa tersebut adalah : P(X ∩ Y) = P(X) x P(Y).

Contoh :
Dari 100 barang yang diperiksa terdapat 20 barang yang rusak. Berapa probabilitas untuk mendapatkan barang yang bagus (baik) jika dilakukan tiga kali pengambilan barang tersebut (barang yang telah diambil dikembalikan lagi).

Jawab :
P (barang baik) = 80/100 = 0,80
P (barang rusak) = 20/100 = 0,20
X = pengambilan pertama barang baik
Y = pengambilan kedua barang baik
Z = pengambilan ketiga barang baik
P(X ∩ Y ∩ Z) = P(X) x P(Y) x P(Z) = 0,8 x 0,8 x 0,8 = 0,512.

Peristiwa Dependent (Bersyarat)
Dua peristiwa dikatakan dependen (bersyarat) adalah jika terjadinya peristiwa yang satu akan mempengaruhi atau merupakan syarat terjadinya peristiwa yang lain. Jika peristiwa X dan Y merupakan peristiwa dependen (probabilitas bahwa Y akan terjadi jika diketahui bahwa X telah terjadi) maka dapat dirumuskan : P(X ∩ Y) = P(X) x P(Y/X).

Contoh :
Seorang peneliti ingin mengetahui Mata Kuliah yang disukai mahasiswa. Untuk penelitian tersebut dibutuhkan 100 mahasiswa dan setelah diberikan pertanyaan diketahui bahwa :
40 mahasiswa menyatakan menyukai Mata Kuliah Matematika
30 mahasiswa menyatakan menyukai Mata Kuliah Statistika
30 mahasiswa menyatakan tidak menyukai kedua Mata Kuliah di atas

Jika dipilih 2 orang mahasiswa secara acak (setelah dipilih tidak dikembalikan lagi), berapa kemungkinan terpilih seorang mahasiswa yang menyukai Mata Kuliah Matematika dan seorang mahasiswa yang menyukai Mata Kuliah Statistika.
Jawab :
A : terpilih seorang mahasiswa yang menyukai MK Matematika
B : terpilih seorang mahasiswa yang menyukai MK Statistika

Catatan : Dalam pemilihan secara berturut-turut terdapat dua kemungkinan pemilihan, yaitu terpilih yang menyukai Matematika - Statistika atau Statistika – Matematika, dengan demikian probabilitasnya adalah :
P(A ∩ B) = (40/100) x (30/99) = 0,1212

P(B ∩ A) = (30/100) x (40/99) = 0,1212
Jadi probabilitas terpilih seorang mahasiswa yang menyukai mata kuliah Matematika dan seorang mahasiswa yang menyukai mata kuliah Statistika adalah 0,2424.